Analyse

Ce livre s'adresse à des étudiants de niveaux très variés, ou à des
enseignants. Il commence très lentement, définissant les notions les plus
élémentaires de topologie générale, dans des espaces métriques avec divers
exemples ; il peut être utilisé par des étudiants de début de deuxième cycle,
dans des cours de topologie générale. Les principaux chapitres, à ce niveau,
sont l'étude des fonctions continues, des espaces compacts, des espaces
connexes, des espaces métriques complets. On passe de là aux espaces
fonctionnels élémentaires, aux espaces de Banach et aux applications linéaires
continues, aux séries. À partir du chapitre XVII, commence l'analyse
fonctionnelle, avec l'étude des espaces vectoriels topologiques. Ce n'est pas
un livre d'analyse fonctionnelle, et il est insuffisant pour ceux qui voudrait
travailler dans cette branche de l'analyse ; mais les théorèmes de Hann-
Banach, d'Ascoli, de Baire, et leurs conséquences, sont traités, permettant au
lecteur d'utiliser de façon systématique tous les outils qui précèdent. Ces
chapitres dépassent nettement le niveau au début, mais peuvent être traités
partiellement dans des cours de deuxième cycle. Il en est de même du chapitre
XXII sur les espaces normaux, paracompacts, complètement réguliers. Le dernier
chapitre sur les espaces hilbertiens, contient les propriétés essentielles de
ces espaces n'utilisant pas Lebesgue.